Articles — Dutch

Scriptie voorgelegd tot het behalen van de graad van Burgerlijk Ingenieur in de Computerwetenschappen: Informatie- en Communicatietechnologie, juni 2006 (Downloaded from LaTeX templates en logo's)

cryptografische systemen zijn gebaseerd op stellingen uit de getaltheorie. Versleuteling en ontsleutelingen van berichten vragen vaak intensief computerrekenwerk. Bij visuele cryptografie wordt het rekenwerk echter tot een minimum beperkt. Ook hoeft de ontwerper van deze geheimcodes bijna geen gebruik te maken van wiskundige stellingen en eigenschappen. De ontsleuteling van een boodschap kan zelfs gebeuren zonder digitale hulpmiddelen: schuif twee transparanten met onherkenbare afbeeldingen over elkaar en kijk doorheen deze transparanten naar de ontsleutelde boodschap. In dit verslag worden drie technieken voor visuele cryptografie toegellicht. Voor de eerste techniek is er wel wat wiskundige achtergrondkennis nodig. De tweede en derde techniek zijn vlot uitvoerbaar zonder deze achtergrond.

Wiskundecollega Pedro Tytgat ontdekte onlangs een merkwaardige applet op het internet. Op http://functionspace.org/topic/1638/opinion/7591 vond hij tussen een hele serie animated gifs een applet voor de krimpende puntenketting die meetkundig gezien niet veel meer doet dan het berekenen van het midden van een lijnstuk. Deze applet viel niet alleen op door haar meetkundige schoonheid maar ook door een korte discussie over een mogelijke verklaring via dominante eigenwaarden en eigenvectoren.De aangekondigde verklaring ontbrak echter op deze site. Korte tijd na de ontdekking van de stelling van de krimpende puntenketting kwam er een compacte maar geïnspireerde analyse van Dirk Danckaert. In dit verslag probeer ik zijn ideën iets breedvoeriger uit te schrijven.

In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche berekeningen worden verbanden gelegd met de symmetrische en de alternerende groepen. De redeneringen die gemaakt worden zijn hoofdzakelijk meetkundig. We beschouwen de platonische lichamen in deze analyse als starre objecten. Rotaties van deze lichamen zijn de enige mogelijke transformaties die we zullen onderzoeken. Hoewel al deze lichamen symmetrievlakken hebben, laten we de vlakspiegeling, die verkregen kunnen worden door rubberen lichamen binnenstebuiten te keren, meestal buiten beschouwing.

Dit seminarieproject voor leerlingen van een vijfde jaar start met een overzicht van verschillende projectiesystemen van driedimensionale lichamen op een vlak. We gebruiken het (vlakke) meetkundeprogramma Cinderella om eenvoudige lichamen zoals kubussen en octaeders in een evenwijdig perspectief te tekenen. De hoekpunten van deze lichamen hebben immers gekende coöordinaten. Daarna breiden we het assortiment lichamen uit naar platonische lichamen met een vijfhoekige symmetrie. Afknottingen van deze lichamen lenen zich goed tot het maken van animaties. Tot slot maken we afbeeldingen in een tollende perspectief. Hierbij wordt aandacht besteed aan het gebruik van eulerhoeken en aan het algoritme voor de zichtbaarheid van zijvlakken.

Wiskundecollega Dirk Danckaert ontdekte onlangs een merkwaardig filmpje op het internet (https://www.youtube.com/user/numberphile) waarin Ed Copland een gedachte-experiment uitlegt waarmee hij de decimalen van \(\pi\) berekent aan de hand van twee botsende ballen. De proef is in realiteit moeilijk uitvoerbaar omdat de massaverhouding van de twee puntmassa's zeer groot moet zijn en omdat de botsingen ook volledig elastisch moeten zijn. De verklaring van Copland voor dit fenomeen trok me sterk aan omdat ze een link legt met lineaire transformaties in vectorruimten, met eigenwaarden en met eigenvectoren. Aangemoedigd door de eenvoud van het eindresultaat van deze afleiding, ging Dirk Danckaert op zoek naar een compactere verklaring. Die vond hij door de vectorruimte van Ed Copland uit te breiden tot een inproductruimte.

Sjabloon Kampvoorbereiding volgens richtlijnen Scouts en Gidsen Vlaanderen