Articles — Dutch

Scriptie voorgelegd tot het behalen van de graad van Burgerlijk Ingenieur in de Computerwetenschappen: Informatie- en Communicatietechnologie, juni 2006 (Downloaded from LaTeX templates en logo's)

Het kaartspel SET, dat gespeeld wordt met 81 kaarten waarop verschillende geometrische afbeeldingen staan, werd in het begin van de jaren '90 populair en heeft sindsdien ook de belangstelling van wiskundigen gewekt. In dit artikel modelleren we het kaartspel aan de hand van een vierdimensionale vectorruimte over het veld 𝔽3. Deze vectorruimte kunnen we interpreteren als meetkundige ruimte met een eindig aantal punten. Via deze interpretatie worden drie kaarten uit het kaartspel die een set vormen voorgesteld door drie collineaire punten. We proberen in dit artikel een bewijs te geven van de stelling dat de kleinste verzameling van speelkaarten die altijd minstens één set bevat, bestaat uit 21 kaarten. De berekeningen steunen aanvankelijk alleen op combinatorische tellingen en op het duivenhokprincipe. In de laatste bewijzen van dit artikel maken we ook gebruikt van de methode van de dubbele telling.

Voor seminarie kregen wij de opdracht een moirépatroon op bestelling te maken. We moesten aanvankelijk het niveaulijnpatroon vinden waarvan de glanskrommen afgeronde vierkanten voorstellen. Gezien we hier vrij snel in geslaagd waren, hebben we de opdracht uitgebreid. Ons uiteindelijke doel werd het maken van vier moirépatronen, met name de vier symbolen van het kaartspel. In dit verslag staat stap voor stap uitgeschreven hoe we tot dit resultaat zijn gekomen, van functies met twee variabelen tot het uiteindelijke plotten van de moirépatronen met het computeralgebrapakket Sage.

Dit project over tensegrities past in het thema van de Nacht van de Toren jaargang 2016. Tijdens deze openschoolnacht draait alles rond evenwicht. Tensegrities (in het Nederlands: houtje-touwtje-constructies) zijn composities met zwevende houten staafjes die elkaar niet raken maar die toch in evenwicht blijven door de gepaste trekspanning in de verbindingstouwtjes. Hoewel het assortiment aan kunstzinnige tensigrities zeer groot is, focussen we ons hier slechts op het type waarbij de staafjes een eenbladige hyperboloïde (een ruimtelichaam in de vorm van een koeltoren) afbakenen.

Wiskundecollega Pedro Tytgat ontdekte onlangs een merkwaardige applet op het internet. Op http://functionspace.org/topic/1638/opinion/7591 vond hij tussen een hele serie animated gifs een applet voor de krimpende puntenketting die meetkundig gezien niet veel meer doet dan het berekenen van het midden van een lijnstuk. Deze applet viel niet alleen op door haar meetkundige schoonheid maar ook door een korte discussie over een mogelijke verklaring via dominante eigenwaarden en eigenvectoren.De aangekondigde verklaring ontbrak echter op deze site. Korte tijd na de ontdekking van de stelling van de krimpende puntenketting kwam er een compacte maar geïnspireerde analyse van Dirk Danckaert. In dit verslag probeer ik zijn ideën iets breedvoeriger uit te schrijven.

In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche berekeningen worden verbanden gelegd met de symmetrische en de alternerende groepen. De redeneringen die gemaakt worden zijn hoofdzakelijk meetkundig. We beschouwen de platonische lichamen in deze analyse als starre objecten. Rotaties van deze lichamen zijn de enige mogelijke transformaties die we zullen onderzoeken. Hoewel al deze lichamen symmetrievlakken hebben, laten we de vlakspiegeling, die verkregen kunnen worden door rubberen lichamen binnenstebuiten te keren, meestal buiten beschouwing.

Dit seminarieproject voor leerlingen van een vijfde jaar start met een overzicht van verschillende projectiesystemen van driedimensionale lichamen op een vlak. We gebruiken het (vlakke) meetkundeprogramma Cinderella om eenvoudige lichamen zoals kubussen en octaeders in een evenwijdig perspectief te tekenen. De hoekpunten van deze lichamen hebben immers gekende coöordinaten. Daarna breiden we het assortiment lichamen uit naar platonische lichamen met een vijfhoekige symmetrie. Afknottingen van deze lichamen lenen zich goed tot het maken van animaties. Tot slot maken we afbeeldingen in een tollende perspectief. Hierbij wordt aandacht besteed aan het gebruik van eulerhoeken en aan het algoritme voor de zichtbaarheid van zijvlakken.