Proyecto ITAM
Autor:
Jose Miguel Saavedra
Last Updated:
hace 5 años
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Resumen:
Una planilla para un proyecto del ITAM con portada.
\begin
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Una planilla para un proyecto del ITAM con portada.
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\input{preamble}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\include{Portada}
\end{titlepage}
\section{Nociones basicas de procesos estocásticos}
\subsection{Cadenas de Markov}
\begin{definition}[Proceso Estocástico\cite{luisrincon2019}]
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias $\{X_t : t\in T\}$ parametrizada por un conjunto $T$, llamado espacio parametral, en donde las variables toman valores en un conjunto $S$ llamado espacio de estados.
\end{definition}
Es decir, un proceso estocástico es un sistema que puede estar en cualquier punto del espacio de estados $S$. Suponga que el sistema cambia de un estado a otro a lo largo del tiempo de acuerdo con una cierta ley de movimiento, y $X_t$ indica el estado del sistema al tiempo $t$.
\begin{definition}[Propiedad de Markov]
Un proceso estocástico se dice que cumple la propiedad de Markov si para todo $t_1<t_2<...<t_n<t \in T$ y todo $x_1,x_2,...,x_n$ se cumple $P(X_t\leq x : X_{t_1}=x_1, X_{t_2}=x_2, ..., X_{t_n}=x_n) = P(X_t\leq x : X_{t_n}=x_n)$
\end{definition}
Las cadenas de Markov, introducidas por el matemático ruso Andrey Markov alrededor de 1905, son un proceso estocástico a tiempo discreto con espacio de estados discretos y que cumple la propiedad de Markov.
\subsection{Proceso Browniano}
\begin{definition}[Movimiento Browniano\cite{luisrincon2019}]
Un movimiento Browniano unidimensional de parámetro $\sigma^2$ es un proceso estocástico $\{B_t : t\geq 0\}$ con valores en $\mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:
\begin{enumerate}
\item $B_0=0$
\item Las trayectorias son continuas.
\item El proceso tiene incrementos independientes.
\item Para cualesquiera tiempos $0\leq s<t$, la variable tiene incrementos $B_t-B_s$ independientes con distribución $\mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$
\end{enumerate}
\end{definition}
\bibliography{BMBibTeX}
\bibliographystyle{ieeetr}
\end{document}