\begin
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%%%<
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\renewcommand{\labelenumi}{{\textbf{\arabic{enumi}})}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\textbf{\alph{enumii}}.}} %--
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\covec}{\binom}
%EXOS
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[1]{% Titre
\refstepcounter{exercice}
\vspace{1em} \par \noindent
\raisebox{-0.7ex}{\textbf{Exercice \no \arabic{exercice}}}
\hrulefill\raisebox{-0.7ex}{ \textbf{#1}}
\par \vspace{0.3em} \noindent%
}
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%%
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\title{Trigonométrie}%Anti-sèche \\ *** \\
\author{\small Vincent Pantaloni}
\date{\includegraphics[width=.75\textwidth]{folding-minibook}}
%\date{Lycée Jean Zay}
\setlength{\parindent}{0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle
%---------------
\section{Le radian.}
\paragraph{Définition:} Le \emph{radian} est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d'angles définie de la façon suivante :\\
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Si l'arc $\wideparen{MN}$ d'un cerle de rayon $R$ a pour longueur $R$, alors l'angle $\widehat{MON}$ vaut $1$ radian.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{trigo1}
\end{minipage}
%\\ $360$ degrés $\leftrightarrow 2\pi$ radians.% ou encore $180$ degrés $\leftrightarrow \pi$ radians.
\bigskip
\textit{Remarque:} La mesure en degrés celle en radians sont proportionnelles: $360$ degrés $\leftrightarrow 2\pi$ radians.
\noindent \renewcommand{\arraystretch}{2}%
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*9{c|}}
\hline
Degrés & $360$ &$180$& $120$ & $90$ & $60$ & \phantom{$xx$} & $30$ & &\\
\hline
Radians & $2\pi$ &\phantom{$\sum_.^{1}$} & \phantom{$xx$} &\phantom{$xx$} & &$\dfrac{\pi}{4}$ & \phantom{$xx$} & $\dfrac{7\pi}{4}$& $\dfrac{11\pi}{12}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%
\paragraph{Définition:} Le \emph{cercle trigonométrique} est le cercle $(\mathscr{C})$ de
centre $O$, de rayon $1$ muni d'un sens de rotation,
\emph{i.e.} orienté de telle sorte que le sens positif (ou direct, ou trigonométrique) est celui du sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre.
%
\newpage
On enroule la droite des réels sur le cercle trigonométrique, dans le sens positif mais aussi dans le sens négatif.
\textbf{Ainsi tout nombre réel $x$ correspond à un point M du cercle.}
Placer des mesures positives puis négatives en radian sur le cercle trigonométrique:\\[0.5cm]
%\newpage
%\begin{center}
\phantom{.}\hfill\includegraphics[width=.9\textwidth]{trigo2}
%\end{center}
\newpage
\section{Fonctions sinus et cosinus}%____________________________
%\subsection{Défintions}%____________________________
%\noindent\begin{minipage}{\textwidth - 7cm}
\paragraph{Définition:}
Soit $x$ un réel quelconque. Il lui correspond un unique point $M$ de $\mathscr{C}$.
On appelle \emph{cosinus} de $x$, noté $\cos x$ et \emph{sinus} de $x$, noté $\sin x$, les coordonnées du point $M$ dans le repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\,) $.
% tel que $x$ soit une mesure en radians de $(\widehat{\V{OA}, \V{OM}})$
\begin{center}
\includegraphics[width=.75\textwidth]{trigo3}
\end{center}
D'après le cercle trigonométrique, on a les prop.:
%\begin{large}
\begin{dingautolist}{168}
\item $\cos^{2}x + \sin^{2}x=\dots{}\qquad$ (Pythagore)
\item $\dots{} \leqslant \cos x \leqslant \dots{}$ \quad et \quad $\dots{} \leqslant \sin x \leqslant \dots{}$
\item $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$
\end{dingautolist}
%\end{large}
%%%
\subsection*{Variations de cos et sin} %____________________________
%\noindent\begin{minipage}{\textwidth - 7cm}
Par lecture sur le cercle trigonométrique, compléter les deux tableaux de variation et identifier les courbes ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics[width=.75\textwidth]{trigo5cos}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=.75\textwidth]{trigo5sin}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=.98\textwidth]{trigo6courbe}
\end{center}
\newpage
\subsection*{Valeurs remarquables}
On retiendra les valeurs remarquables de sin et cos %: \[\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\]
à l'aide du quart de cercle ci-dessous en remarquant que $1<2<3$ donc $1<\sqrt2<\sqrt3$ et donc:
\[\dfrac{1}{2}< \dfrac{\sqrt2}{2}< \dfrac{\sqrt3}{2}.\]
\begin{center}
\includegraphics[width=.85\textwidth]{trigo4}
\end{center}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=.92\textwidth]{trigo2}
%\end{center}
%
%\newpage
%\rule{0pt}{1cm}
\newpage
%\exo{}
\paragraph{Exercice.} En utilisant les valeurs remarquables de cos et sin ainsi que des symétries, déterminer les valeurs exactes demandées.
\begin{enumerate}
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\ $ donc $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dots$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12\ $ donc $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dots$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}\ $ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dots$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\ $ donc $\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=\dots$
\item $\sin\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)=\dots\ $ et $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dots $
\end{enumerate}
\paragraph{Exercice.} \textbf{1)} Sachant qu'un angle $x$ (en radians) est dans $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ et que $\sin(x)=\dfrac{4}{5}$, déterminer $\cos(x)$. \\
\textbf{2)} On sait que $x\in [0;2\pi]$, et $\cos(x)=-\dfrac{12}{13}$. \\
Quelles sont les valeurs possibles pour $\sin(x)$? \\[0.5ex]
\textbf{3)} Déterminer les réels $x$ tels que:\\
$x\in [0;2\pi]$ et $\cos x=\sin x$.\\[0.5ex]
\textbf{4)} Déterminer les réels $x$ tels que:\\
$x\in [-\pi;\pi]$ et $\cos x\geq \dfrac{1}{2}$.
\newpage
\rule{0pt}{3cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=7,cap=round,>=latex]%5.3
% draw the coordinates
\draw[->] (-1.1cm,0cm) -- (1.1cm,0cm) node[right,fill=white] {$x$};
\draw[->] (0cm,-1.1cm) -- (0cm,1.1cm) node[above,fill=white] {$y$};
% draw the unit circle
\draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm);
\foreach \x in {0,30,...,360} {
% lines from center to point
\draw[gray] (0cm,0cm) -- (\x:1cm);
% dots at each point
\filldraw[black] (\x:1cm) circle(0.4pt);
% draw each angle in degrees
\draw (\x:0.6cm) node[fill=white] {$\x^\circ$};
}
% draw each angle in radians
\foreach \x/\xtext in {
30/\dfrac{\pi}{6},
45/\dfrac{\pi}{4},
60/\dfrac{\pi}{3},
90/\dfrac{\pi}{2},
120/\dfrac{2\pi}{3},
135/\dfrac{3\pi}{4},
150/\dfrac{5\pi}{6},
180/\pi,
210/\dfrac{7\pi}{6},
225/\dfrac{5\pi}{4},
240/\dfrac{4\pi}{3},
270/\dfrac{3\pi}{2},
300/\dfrac{5\pi}{3},
315/\dfrac{7\pi}{4},
330/\dfrac{11\pi}{6},
360/2\pi}
\draw (\x:1.2cm) node[fill=white] {$\xtext$};
%\draw (\x:0.85cm) node[fill=white] {$\xtext$};
% \foreach \x/\xtext/\y in {
% % the coordinates for the first quadrant
% 30/\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2},
% 45/\frac{\sqrt{2}}{2}/\frac{\sqrt{2}}{2},
% 60/\frac{1}{2}/\frac{\sqrt{3}}{2},
% % the coordinates for the second quadrant
% 150/-\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2},
% 135/-\frac{\sqrt{2}}{2}/\frac{\sqrt{2}}{2},
% 120/-\frac{1}{2}/\frac{\sqrt{3}}{2},
% % the coordinates for the third quadrant
% 210/-\frac{\sqrt{3}}{2}/-\frac{1}{2},
% 225/-\frac{\sqrt{2}}{2}/-\frac{\sqrt{2}}{2},
% 240/-\frac{1}{2}/-\frac{\sqrt{3}}{2},
% % the coordinates for the fourth quadrant
% 330/\frac{\sqrt{3}}{2}/-\frac{1}{2},
% 315/\frac{\sqrt{2}}{2}/-\frac{\sqrt{2}}{2},
% 300/\frac{1}{2}/-\frac{\sqrt{3}}{2}}
% \draw (\x:1.25cm) node[fill=white] {$\left(\xtext,\y\right)$};
% draw the horizontal and vertical coordinates
% the placement is better this way
% \draw (-1.25cm,0cm) node[above=1pt] {$(-1,0)$}
% (1.25cm,0cm) node[above=1pt] {$(1,0)$}
% (0cm,-1.25cm) node[fill=white] {$(0,-1)$}
% (0cm,1.25cm) node[fill=white] {$(0,1)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}