El sistema axiomático de los números reales. Los números reales forman un conjunto denotado por ℝ, provisto de dos operaciones: la adición (+), la multiplicación (⋅) y una relación de orden (<) “menor que” que verifica los siguientes tres grupos de propiedades básicas (axiomas).
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% \makecell[l]{\large\textbf{\textsc{IPEA 215} Raúl Scalabrini Ortiz} \\
% Departamento de Matemática \\
% Docente: Prof. Emanuel Pontoni \\
% Alumno:\enspace\makebox[3.5in]{\hrulefill}. Curso: Primer Año ``A".}
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% \end{tabular}
%}
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% DOCUMENTO
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES}
\end{center}
Es un conjunto denotado por $\mathbb{R}$, provisto de dos operaciones: la adición ($+$), la multiplicación ($\cdot$) y una relación de orden ($<$) ``menor que'' que verifica los siguientes tres grupos de propiedades básicas (axiomas).
\begin{table}[htbp]
\resizebox{\textwidth}{!}{
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\Gape[6pt]{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}\textbf{Axiomas de cuerpo}\\ (propiedades algebraicas)\end{tabular}}} \\ \hline
\textbf{\Gape[4pt]{Propiedades}} & \textbf{Adición} & \textbf{Multiplicación} \\ \hline
\Gape[4pt]{\textbf{Asociativa}} & $(a+b)+c=a+(b+c)$ & $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ \\ \hline
\Gape[4pt]{\textbf{Conmutativa}} & $a+b=b+a$ & $a\cdot b=b\cdot a$ \\ \hline
\textbf{\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Existencia del\\ elemento neutro\end{tabular}}} & \multicolumn{1}{l|}{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Existe un número real llamado ``cero'' \\ y que indicamos ``0'' tal que para todo\\ número real $a$ vale que:\\ \makecell[c]{$a+0=0+a=a$} \end{tabular}} & \multicolumn{1}{l|}{\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Existe un número real \textbf{distinto de cero} que \\ llamamos ``uno'' e indicamos con ``1'' tal que\\ para todo número real $a$ vale: \\ \makecell[c]{$a\cdot 1 = 1\cdot a=a$} \end{tabular}}} \\ \hline
\textbf{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Existencia del\\ elemento inverso\end{tabular}} & \multicolumn{1}{l|}{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Inverso aditivo u opuesto de $a$ es $-a$\\ \makecell[c]{$a+(-a)=0$} \end{tabular}} & \multicolumn{1}{l|}{\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Inverso multiplicativo o recírpoco de $a$ \\ ($a\ne 0$) es $a^{-1}$\\ \makecell[c]{$a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$} \end{tabular}}} \\ \hline
\textbf{\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Distributiva de la\\ multiplicación\\ respecto de la Adición\end{tabular}}} & \multicolumn{2}{c|}{$(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c$}\\ \hline
\end{tabular}}
\end{table}
\underline{Nota}: la sustracción se define: $a-b=a+(-b)$ y la división se define por $\dfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}$\\
\textbf{Axiomas de orden} (propiedades de orden)\\
En el sistema de los números reales existe una relación $<$ (se lee: ``es menor que'') definida como $a<b \Leftrightarrow b-a \in \mathbb{R}^{+}$; que establece una ordenación en los números reales y que verifica los siguientes axiomas:\\
Sea $P$ el conjunto de los números positivos y $O$ el conjunto cuyo único elemento es el cero.
\begin{itemize}
\item \textbf{Axioma I}. Sea $a\in \mathbb{R}$ se cumple una y sólo un de \textbf{(1)} $a\in P$, \textbf{(2)} $a\in O$, \textbf{(3)} $-a\in P$.
\item \textbf{Axioma II}. Si $a,b\in P$, entonces: \textbf{(1)} $a+b\in P$, o bien \textbf{(2)} $a\cdot b \in P$.
\end{itemize}
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\Gape[6pt]{\textbf{Propiedades ($\forall a,b,c \in \mathbb{R}$)}}} \\ \hline
\Gape[4pt]{\textbf{Tricotomía}} & \multicolumn{2}{c|}{$ a<b$, \hspace{0.5in} $a=b$, \hspace{0.5in} $b>a$} \\ \hline
\Gape[4pt]{\textbf{Transitiva}} & \multicolumn{2}{c|}{$a<b \wedge b<c \Rightarrow a<c $} \\ \hline
\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}\textbf{Aditiva}\\ Monotonía de la suma\end{tabular}} & \multicolumn{2}{c|}{$a<b \Rightarrow a+c<b+c$} \\ \hline
\Gape[4pt]{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}\textbf{Multiplicativa}\\ Monotonía para el producto\end{tabular}} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Cuando $c$ es positiva,\\ $a<b \Rightarrow a\cdot c <b\cdot c$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Cuando $c$ es negativa,\\ $a<b\Rightarrow a\cdot c > b\cdot c$\end{tabular} \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
\textbf{Axioma del supremo} (de completitud o continuidad)\\
Todo conjunto de números reales $A\subset \mathbb{R}$, no vacío ($A \neq \emptyset$) y acotado superiormente tiene supremo (cota superior mínima).\\
Este último axioma garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos en la recta o eje real.\\
\begin{center}
\includegraphics[]{subsetsR.PNG}
\end{center}
\end{document}