Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas.
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\begin{document}
\title{MONTE CARLO - ALGORITMO DE LOCALIZACION}
\author[1]{ELVIS ALDEAN P.}
\author[1]{KEVIN CHOEZ M.}
\author[1]{JOHN GARCIA R.}
\affil[1]{Carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales}
\affil[ ]{Universidad de Guayaquil}
\renewcommand\Authands{, }
\date{} % Activate to display a given date or no date
\maketitle
\textit{}\textbf{Resumen}
En la actualidad muchas personas no saben ¿Qué es el Método Montecarlo? ¿Cómo se aplica? ¿Para qué sirve? Entre otras interrogantes, pero sin saberlo muchos de ellos lo han aplicado en diversas situaciones de la vida cotidiana.
Por ejemplo:
\textit{Generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora}
\textit{Algoritmo de Las Vegas es un algoritmo de computación de carácter aleatorio (random) que no es aproximado: es decir, da el resultado correcto o informa que ha fallado.}
El método de Monte Carlo en sí, es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
En este artículo mostramos como las técnicas Monte Carlo y la realización de experimentos por ordenador con números aleatorios, puede ser muy útil en la asimilación de estas materias.
Por la cual vamos a ver algunos métodos de monte Carlo que hay y la cual también nos va ayudar a realizar una pequeña simulación con número aleatorio en el lenguaje de programación python y también la metodología para realizar aprueba en un robot de localización y también vamos a explicar el cálculo de la simulación que realizada con los números aleatorio paso a paso y debemos tener un poco de conocimiento en la área de la estadística para así entender el articulo realizado para luego implementa la simulación deseada y también vamos observar el resultado final de una pequeña simulación con números aleatorios.
\section{\textbf{Introducción}}
El problema de la localización en la robótica móvil se
puede subdividir en dos: la estimación de la posición
absoluta global del robot y la capacidad del robot de
hacer un seguimiento de su posición de forma local.
La posición absoluta, que es el caso que se aborda en
este artículo, se define como la ubicación del robot
dentro de un espacio acotado y conocido, sin más
información disponible a priori para el robot, que el
conocimiento de que se encuentra dentro de dicho
mapa. Si se considera que el robot se encuentra
localizado dentro del mapa, la segunda parte del
problema, consiste en poder realizar de forma local
un seguimiento de su posición. La subdivisión del
problema en dos, permite utilizar el posicionamiento
global para que, haciendo uso del mapa disponible,
sea posible planificar una serie de movimientos que
el robot debe realizar para cumplir con su misión,
mientras que el seguimiento local de su posición le
permite realizar una navegación eficiente. Esto, le
facilita el poder tener en cuenta imprevistos no
reflejados en el mapa, como por ejemplo cualquier
tipo de obstáculo móvil.
Otros aspectos clave de los enfoques probabilísticos
es que proporcionan una localización global más
precisa que con modelos de localización basados en
la subdivisión del mapa en celdas fijas, permitiendo
además una fácil implementación. Sin embargo, esto
no está exento de contrapartidas. En el caso del
método Montecarlo expuesto en este trabajo, éste
puede dar lugar a falsas localizaciones, sobre todo en
mapas simétricos, donde es imposible diferenciar la
posición del robot exclusivamente con información
geométrica. También, por norma general, el método
probabilístico aquí descrito requiere de una mayor
potencia computacional para la realización de los
múltiples cálculos necesarios para localizar al robot.
\section{\textbf{Trabajos relacionados}}
\subsection{Monte Carlo Dual}
Este es una versión alternativa al metodo monte carlo.El principio de este metodo es invertir el proceso de muestreo. Monte carlo genera las nuevas particulas según la observacion mas reciente y luego ajusta los factores de importancia segun la creencia anterior. Por esta razon el algoritmo dual tiene fortalezas y debilidades complementarias a las de monte carlo, es ideal para sensores altamente precisos pero es muy sensible al ruido en las mediciones[1].
\subsection{Mixure - Monte Carlo}
Este algortimo pretende heredar las fortalezas de monte carlo y monte carlo dual haciendo un algoritmo hibrido. La idea central es que cada muestra sea generada usando uno de los dos algoritmos, siendo aleatoria la decision acerca del cual de ellos se usa para generar la muestra[1].
\section{Datos}
Para realizar el cálculo de las posibles rutas que tome el robot se basara en el área del circulo y del cuadrado para por medio de ellos buscar el valor de pi.
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{mtc1}
Para la localizacion del robot se tomara en cuenta los puntos que se generen dentro del circulo
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{mtc2}
El método monte carlo consiste en una distribución de numeros aleatorios , el numero de iteraciones serán determinados por el programador, el procesamiento de las interacciones ocurren de forma independiente[3].
\subsection{\textbf{Calculo de distancias}}
\begin{itemize}
\item Para realizar el calculo de la distancia siempre nos basamos en el punto de origen O = (0.5,0.5)
\item El otro punto que se tomara en cuanta será los que estén representado dentro del circulo representado por (x,y)[2].
\item Tomando en referencia las coordenadas de (x,y) calculamos el valor delta de X y Y
\begin{equation}
\Delta X = XA - 5
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta Y = YA - 5
\end{equation}
\item Una vez obtenido dichos valores calculamos la distancia ”FORMULA DE DISTANCIA”
\begin{equation}
d(A,0) = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 }
\end{equation}
\item Si el resultado de la distancia es menor a 0,5 será el punto mas optimo para la ubicación del robot[4]
\end{itemize}
\includegraphics[width=0.50\textwidth]{mtc3}
\section{\textbf{Metodología}}
\subsection{Filtros de Bayes}
Los filtros de Bayes apuntan a problema de estimar el estado (x) de un sistema dinámico, es decir variante en el tiempo. Esta densidad de probabilidad generalmente es llamada la creencia[4].
\begin{equation}
bel(x_t) = p(x_t) | o_t,a_t-1,o_t-1,a_t-2,.....,o_0)
\end{equation}
El método Monte Carlo no requiere una definición analítica del modelo de movimiento; basta con tener un modelo de muestreo que sea compatible con
\begin{equation}
p(x',|X,a)
\end{equation}
\subsection{\textbf{Resultado con Python}}
Aquí vemos una pequeña simulación donde vamos a localizar el valor de Pi con el método monte-Carlo por la cual utilizamos los datos anteriores de la fórmula de la distancia.
\textbf{Python}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{python2}
\subsection{\textbf{Representación de la función de probabilidad}}
Dado que es imposible calcular las probabilidades de
todas las infinitas posiciones posibles del robot[4], lo
que se hace es de escoger un numero N de posiciones
(en adelante partículas) representativas del espacio.
Este conjunto de posiciones permite establecer la
densidad de la probabilidad (o lo que es lo mismo la
posición del robot y su incertidumbre)[5].
\subsection{\textbf{Cálculo de la función de probabilidad}}
La forma de calcular la función de densidad de la
probabilidad se hace partiendo de un estado inicial y
realizando un cálculo en dos fases de forma iterativa.
La primera, se denomina fase de predicción y, la
segunda, fase de actualización[5].
Así pues, inicialmente, se reparte de forma aleatoria
y homogénea el número de partículas por el
espacio del mapa. Esto es así ya que inicialmente,
como se había comentado anteriormente, la única
información de la que se dispone es que el robot se
encuentra dentro del mapa conocido a priori.
Seguidamente se procede a la fase de predicción.
Durante esta fase, basándose en el modelo de
movimiento del control local del robot, se aplica a
cada una de las partículas el movimiento realizado
por el propio robot durante el intervalo de tiempo
entre el instante inicial y el actual[1]. A dicho
desplazamiento se le aplica un pequeño ruido
gaussiano que tiene como objetivo modelar el error
de un desplazamiento calculado exclusivamente a
través de la odometría del robot, así como dispersar
las partículas que por azar se encuentren muy
próximas[6].
Seguidamente se realiza la fase de la actualización.
Durante esta fase se cotejan las medidas del sensor
láser con las medidas de un sensor láser virtual
aplicado a cada partícula. Dicho láser virtual traza
rectas en base a la posición y orientación de la
partícula y devuelve la distancia mínima a la que
intersectan con el mapa[3].
\section{\textbf{Resultados}}
Se ha presentado el
problema de la localización de un robot móvil en un
marco de referencia absoluto[1], explicándose cómo se
pueden utilizar funciones de densidad de
probabilidad para modelar el posicionamiento del
robot con una cierta incertidumbre y se ha expuesto
un algoritmo basado en el método de Montecarlo que
permite el cómputo de dicha densidad[3].
Los diversos experimentos planteados, han
demostrado que el algoritmo implementado es capaz
de dotar al robot de capacidad para localizarse en
escenarios complejos como los que componen los
espacios arquitectónicos por los que nos movemos a
diario con una incertidumbre sobre su posición muy
baja[5].
Por todo lo expuesto, asumiendo que a día de hoy
existen métodos que permiten obtener mapas del
entorno fiables de forma sencilla y, dada la dificultad
de encontrar espacios perfectamente simétricos
dentro de las construcciones actuales, es posible
afirmar que el método propuesto resuelve de forma
sencilla, fiable y eficiente el problema de la
localización en interiores.
\section{\textbf{Conclusiones}}
En base a las pruebas realizadas sobre los métodos implementados
podemos decir que el desempeño fue similar en la prueba de
seguimiento de la posición[7]. ya que en este determinará la
probabilidad de las partículas más cercanas agregados según los
datos de visión. Una posible expansión de las funciones del módulo
de localización es el cálculo de las distancia de los objetos,
lo cual tiene gran importancia, ya que muchas de las decisiones
que toma el localizar el objetivo tienen relación con la posición
de la partículas, pero estas decisiones podrían ser más acertadas
si se contara con un estimador de la posición futura de ella.
Es natural que este cálculo sea realizado en el módulo de
localización ya que es él quien tiene más información con
respecto a las posiciones de los objetos, y es el que maneja
las posiciones absolutas de los objetos con respecto al mapa.
Finalmente, sería de gran contribución para el desempeño de
los algoritmos implementados el mejoramiento de la cantidad
y calidad de la información recibida desde visión. Por ejemplo,
mejorar el cálculo de distancias, en cada partícula dependiendo
la distancia que se fija al punto de origen, si hay mayores
distancias y poder detectar las partículas con más rapidez
que existentes en todo el mapa. Existen en la literatura varias
aproximaciones a las mejoras anteriormente mencionadas. Por ejemplo,
Monte Carlo Dual y Mixure - Monte Carlo
\section{\textbf{Bibliografía}}
\begin{itemize}
\item [1]Dellaerty, F., Foxy, D., Burgardz, W., Thruny,
S., Robust Monte Carlo Localization for Mobile
Robots. Artificial Intelligence, vol 128 Issue 1-
2, May 2001
\item [2] F. Dellaert, D. Fox, W. Burgard, S. Thrun.
MonteCarlo localization for mobile robots.
Proc. IEEE International Conference on
Robotics and Automation (ICRA-99), Detroit,
MI (1999).
\item [3] Zhang, L., Zapata, R., Lépinay, P. Self-
Adaptive Monte Carlo Localization for Mobile
Robots Using Range Sensors. IEEE/RSJ
International Conference on Intelligent Robots
and Systems (2009).
\item [4] Gleason, C.P.; Perez, L.C.; Goddard, S.; , "On
the Ranging Connectivity in the Cricket
Localization System," IEEE International
Conference on Electro/information Technology,
(2006), pp.619-624. doi: 10.1109/EIT.
2006.252217
\item [5] A. M. Johansen, L. Evers,
Simulation and the Monte Carlo Methods — Lecture Notes,
Ed. Nick Whiteley, University of Bristol, 2011.
\item [6] S. Weinzierl,
Introduction to Monte Carlo Methods,
arXiv: hep-ph/0006269, 2000.
\item [7] http://www.regeusp.com.br/arquivos/c6-Art7.pdf
\end{itemize}
\bibliographystyle{IEEEtran}
\bibliography{references}
\end{document}