Álgebra
Autor
Alberto Ordonez
Last Updated
hace 10 años
License
Creative Commons CC BY 4.0
Resumen
Ejercicios de álgebra tomados del Baldor (edición 1980).
Algebra exercises from Baldor (1980 edition)
\documentclass[12pt,letterpaper]{article}
\usepackage[spanish]{babel} % Para caracteres en español
\usepackage[utf8]{inputenc} % Para caracteres en español
\spanishdecimal{.}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd}
\usepackage{multirow,booktabs}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{setspace}
\usepackage{calc}
\usepackage{multicol}
\usepackage{cancel}
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}
\usepackage[margin=3cm]{geometry}
\usepackage{floatrow}
\newlength{\tabcont}
\setlength{\parindent}{0.0in}
\setlength{\parskip}{0.05in}
\title{Álgebra}
% Editar como se necesite para cambiar los títulos
\newcommand\course{MATE IV} % <-- nombre del curso
\newcommand\semester{2015} % <-- semestre
\newcommand\asgnname{2} % <-- numero o subtítulo de la tarea
\newcommand\yourname{} % <-- nombre
\newcommand{\vect}[1]{\overline{#1}} % si se quiere cambiar a vector con flecha solo hay que sustituir boldsymbol por vec.
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} % para denotar la norma euclidiana
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Definición}
\newtheorem{reg}{Regla}
\newtheorem{ejer}{EJERCICIO}
\pagestyle{fancyplain}
\headheight 32pt
\lhead{\yourname\ \vspace{0.1cm} \\ \course}
\chead{\textbf{\Large Serie Álgebra}}
\rhead{2015/01/26}
\cfoot{P\'agina \thepage \hspace{1pt} de \pageref{LastPage} \vspace{3mm} \\ \footnotesize \textcolor{gray}{Material realizado por Alberto Ordóñez Palafox, para uso exclusivo de su clase}}
\textheight 580pt
\headsep 10pt
\footskip 40pt
\topmargin = 7pt
\begin{document}
% Aquí empieza el contenido del documento
\textbf{NOMENCLATURA ALGEBRAICA} %Baldor, 1983, pp. 14-15
\begin{defn}[Término]
Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos \emph{no separados entre sí por el signo + o -}. Por ejemplo
\begin{equation*}
a, \ 3b, \ 2xy, \ \dfrac{4a}{3x},
\end{equation*}
son términos.\\
Los \emph{elementos de un término} son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte variable y el grado.\\
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado \emph{coeficiente} del otro factor. Así, en el producto $3a$, el factor 3 es coeficiente (numérico) del factor $a$ e indica que el factor $a$ se toma como sumando tres veces, o sea $3a=a+a+a$; por otra parte, en el producto $ab$, el factor $a$ es coeficiente (literal) del factor $b$, e indica que el factor $b$ se toma como sumando $a$ veces, o sea $ab=b+b+b+\dots$, $a$ veces.
\end{defn}
\begin{defn}[El grado de un término con relación a una literal o variable]
Es el exponente de la literal o variable. Por ejemplo, el término $bx^3$ es de \emph{primer grado} con relación a $b$ y de \emph{tercer grado} con relación a $x$.
\end{defn}
\smallskip
\textbf{CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS}%Baldor, 1983, pp. 16-17
\begin{defn}[Monomio]
Es una expresión algebraica que consta de un sólo término, como
\begin{equation*}
3a, \ -5b, \ \dfrac{x^2y}{4a^3}
\end{equation*}
\end{defn}
\begin{defn}[Polinomio]
Es una expresión algebraica que consta de más de un término, como \begin{equation*}
a+b, \ a+x-y, \ x^3+2x^2+x+7
\end{equation*}
\emph{Binomio} es un polinomio que consta de dos términos, como $a+b,x-y, \dfrac{1}{3}a^3-\dfrac{5mx^4}{6b^2}$\\
\emph{Trinomio} es un polinomio que consta de tres términos, como $a+b+c$
\end{defn}
\begin{defn}[Grado de un polinomio con relación a una literal o variable]
Es el mayor exponente de dicha literal en el polinomio. Así, el polinomio $a^2x^4-a^4x^2+a^6$ es de \emph{cuarto grado} con relación a la $x$ y de \emph{sexto grado} con relación a la $a$.
\end{defn}
\begin{defn}[Término independiente de un polinomio con relación a una literal o variable] %Baldor, 1983, pp. 18
Es el término que no tiene dicha literal. Así, en el polinomio\\
$x^4-6x^3+3bx^3-9x+20$ el término independiente con relación a la $x$ es 20; en $a^3-ba^2+3b^2a+b^3$ el término independiente con relación a la $a$ es $b^3$.
\end{defn}
\smallskip
\begin{defn}[Términos semejantes] %Baldor, 1983, pp. 19
Dos o más términos son semejantes cuanto tienen \emph{la misma parte literal}, o sea, cuando tienen \emph{letras iguales} afectadas de \emph{iguales exponentes}. Por ejemplo\\
\begin{equation*}
2a \ \text{ y } \ a; \ -2x^{m+1} \ \text{ y } \ 8x^{m+1}
\end{equation*}
$4ab$ \ y \ $-6a^2b$ no son semejantes, porque las letras no tienen los mismos exponentes.
\end{defn}
\begin{defn}[Reducción de términos semejantes] %Baldor, 1983, pp. 19
Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.
\end{defn}
\begin{reg} Se suman (algebraicamente) los coeficientes y a continuación se escribe la parte literal.
\end{reg}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3a+2a=5a$
\item $3x^{m+1}+5x^{m+1}-9x{m+1}=-x^{m+1}$
\item $-\dfrac{1}{2}a^2b+2a^2b=\dfrac{3}{2}a^2b$
\item $x^4+\dfrac{5}{2}x^3y+3x^4-\dfrac{3}{2}x^3y=4x^4+x^3y$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{3mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, ejercicio 10, pp. 23
Reducir (los términos semejantes de) los siguientes polinomios:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $7a-9b+6a-4b$.
\item $a+b-c-b-c+2c-a$.
\item $5x-11y-9+20x-1-y$.
\item $-6m+8n+5-m-n-6m-11$.
\item $-1+b+2b-2c+3a+2c-3b$.
\item $-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y$.
\item $15a^2-6ab-8a^2+20-5ab-31+a^2-ab$.
\item $-3a+4b-6a+81b-114b+31a-a-b$.
\end{multicols}
\setlength{\itemindent}{+.5in}
\item $-71a^3b-84a^4b^2+50a^3b+84a^4b^2-45a^3b+18a^3b$.
\item $-a+b-c+8+2a+2b-19-2c-3a-3-3b+3c$. %hasta aquí es hasta el inciso 10 del ejercicio, luego hay algunos saltos
\item $a^{m+2}-x^{m+3}-5+8-3a^{m+2}+5x^{m+3}-6+a^{m+2}-5x^{m+3}$. % No 14
\item $\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b+2a-3b-\frac{3}{4}a-\frac{1}{6}b+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$. % No 16
\item $\frac{3}{25}a^{m-1}-\frac{7}{50}b^{m-1} \frac{3}{5}a^{m-1} -\frac{1}{25}b^{m-1}-0.2a^{m-1}+\frac{1}{5}b^{m-1}$. % No 20, con exponentes de b modificados
\end{enumerate}
\end{ejer}
\pagebreak
\textbf{AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES} %Baldor, 1983, ejercicio 10, pp. 32-33
\begin{enumerate}[label=\Alph*.]
\item IGUALDAD
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item Identidad: $a=a$.
\item Reciprocidad: si $a=b$, entonces $a=b$.
\item Transitividad: si $a=b$ y $b=c$, entonces $a=c$.
\end{enumerate}
\item SUMA
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item Conmutatividad: $a+b=b+a$, $\forall a,b\in\mathbb{R}$
\item Asociativatividad: $a+(b+c)=(a+b)+c$, $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$
\item Neutro: $\exists !\ 0 \in \mathbb{R}$, tal que $a+0=a$, $\forall a,\in\mathbb{R}$, \quad (el signo de exclamación después del símbolo de existencia significa único).
\item Inverso: $\forall a,\in\mathbb{R}$, $\exists ! -a \in \mathbb{R}$, tal que $a+(-a)=0$.
\end{enumerate}
\item MULTIPLICACIÓN (O PRODUCTO)
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item Conmutatividad: $a\cdot b=b\cdot a$, $\forall a,b\in\mathbb{R}$
\item Asociativatividad: $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$, $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$
\item Neutro: $\exists !\ 1 \in \mathbb{R}$, tal que $a\cdot 1=a=1\cdot a$, $\forall a,\in\mathbb{R}$
\item Inverso: $\forall a,\in\mathbb{R}$, tal que $a\neq 0$, $\exists !\ a^{-1} \in \mathbb{R}$, tal que $a\cdot a^{-1}=1=a^{-1}\cdot x$ \label{ax:invmult}
\end{enumerate}
\item DISTRIBUTIVIDAD (del producto con respecto a la suma, $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$) \
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, y de forma equivalente $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
\item AXIOMAS DE ORDEN
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item Tricotomía: si $a,b\in \mathbb{R}$, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:
\begin{equation*}
a>b \quad\text{o}\quad a=b \quad\text{o}\quad a<b
\end{equation*}
\item Transitividad: si $a<b$ \ y \ $b<c$ $\Rightarrow a<c$
\item Monotonía, $\forall a,b,c\in\mathbb{R}$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item De la suma: si $a>b \Rightarrow a+c>b+c$
\item De la multiplicación: si $a>b$, \ y \ $c>0 \Rightarrow a\cdot c>b\cdot c$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item AXIOMA DE CONTINUIDAD \
Si tenemos dos conjuntos de números reales $A$ y $B$, de modo que todo número de $A$ es menor que cualquier número de $B$, existirá siempre un número real $c$ con el que se verifique $a\leq c \leq b$, para todo $a\in A$, y $b\in B$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{SIGNOS DE AGRUPACIÓN} %Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 58-59
Los signos de agrupación (generalmente paréntesis o corchetes), se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como \emph{un todo}, o sea, como \emph{una sola cantidad}.\\
Así, $a+(b-c)$, indica que la diferencia $b-c$ debe sumarse con $a$, y sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuación de $a$ las demás cantidades \emph{con su propio signo}, tendremos:
\begin{equation*}
a+(b-c)=a+b-c.
\end{equation*}
Por otra parte, la expresión $a-(b+c)$, indica que de $a$ hay que restar la suma $b+c$ y como para restar escribimos el \emph{sustraendo con los signos cambiados} a continuación del minuendo, tendremos:
\begin{equation*}
a-(b+c)=a-b-c.
\end{equation*}
\begin{reg}[Para suprimir signos de agrupación] \
\begin{enumerate}
\item Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo $+$ se deja el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
\item Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo $-$ se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
\end{enumerate}
\end{reg}
\textbf{Ejemplo}:
\begin{enumerate}
\item $a+(b-c)+2a-(a+b)=a+b-c+2a-a-b=2a-c$.
\item $3a+\left\lbrack-5x-\left(-a+\left\lbrack9x-\left(a+x\right)\right\rbrack\right)\right\rbrack$. \
Cuando unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, como en este ejemplo, se suprime uno en cada paso empezando por \emph{el más interior}. Así, en este caso, suprimimos primero el paréntesis que agrupa al binomio $a+x$, y se obtiene,
\begin{equation*}
3a+\left\lbrack-5x-\left(-a+\left\lbrack9x-a-x\right\rbrack\right)\right\rbrack
\end{equation*}
después, tenemos: $3a+\left\lbrack-5x-\left(-a+9x-a-x\right)\right\rbrack$\\
luego, $3a+\left\lbrack-5x+a-9x+a+x\right\rbrack$\\
por último, $3a-5x+a-9x+a+x$\\
reduciendo términos semejantes, se obtiene: $5a-13x$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, ejercicio 31, p. 60
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x-(x-y)$.
\item $x^2+(-3x-x^2+5)$.
\item $a+b-(-2a+3)$.
\item $4m-(-2m-n)$.
\item $2x+3y-(4x+3y)$.
\item $a+(a-b)+(-a+b)$.
\item $a-(b+a)+(-a+b)-(-a+2b)$. % ej 12
\item $-(a+b)+(-a-b)-(-b+a)+(3a+b)$. % ej 15
\item $2a+\lbrack a-(a+b)\rbrack$. % del ejercicio 32, No 1
\item $3x-\lbrack x+y -(2x+y)\rbrack$. % No 2
\item $2m-\lbrack(m-n)-(m+n)\rbrack$.
\end{multicols}
\setlength{\itemindent}{+1in}
\item $4x^2+\lbrack-(x^2-xy)+(-3y^2+2xy)-(-3x^2+y^2)\rbrack$.
\item $a+\lbrack(-2a+b)-(-a+b-c)+a\rbrack$.
\item $4m-\lbrack2m+(n-3)\rbrack+\lbrack-4n-(2m+1)\rbrack$.
\item $2x+\lbrack-5x-(-2y+\lbrack-x+y\rbrack)\rbrack$.
\item $x^2-\lbrack-7xy+(-y^2+\lbrack-x^2+3xy-2y^2\rbrack)\rbrack$.
\item $-(a+b)+(-3a+b-\lbrack-2a+b-(a-b)\rbrack+2a)$.
\item $(-x+y)-(4x+2y+\lbrack-x-y-(x+y)\rbrack)$.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{4mm}
\begin{reg}[Para introducir cantidades en signos de agrupación] \
\begin{enumerate}
\item Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo $+$ se deja a cada una de las cantidades con el mismo signo que tengan.
\item Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo $-$ se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
\end{enumerate}
\end{reg}
\textbf{Ejemplo}:
\begin{enumerate}
\item $x^3-2x^2+3x-4=x^3+(-2x^2+3x-4)$.
\item $x^2-a^2+2ab-b^2=x^2-(a^2-2ab+b^2)$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{MULTIPLICACIÓN}
\emph{El orden de los factores no altera el producto}. Así, el producto $ab$ puede escribirse $ba$; el producto $abc$ puede escribirse también $bac$ o $acb$. Esta es la \emph{Ley conmutativa} de la multiplicación.
\emph{Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo}. Así, en el producto $abcd=a(bcd)=(ab)(cd)=(abc)d$. Esta es la \emph{Ley asociativa} de la multiplicación.\\
\textbf{LEYES DE SIGNOS}
\begin{reg}
% El producto de dos números reales se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado llevará signo positivo $(+)$, si los signos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo $(-)$, si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0.
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
&+& \text{ por } + \text{ da } + \qquad + \text{ por } - \text{ da } -\\
&-& \text{ por } - \text{ da } + \qquad - \text{ por } + \text{ da } -
\end{IEEEeqnarray*}
Por el axioma C-\ref{ax:invmult} (existencia del inverso multiplicativo), a todo número real $a\neq 0$, corresponde un número real, y sólo uno, $a^{-1}$, de modo que $aa^{-1}=1$, este número $a^{-1}$ se llama \emph{inverso} o \emph{recíproco} de $a$, y también se representa como $1/a$.\\
El inverso o recíproco de un número (cualquiera distinto de cero), tiene su mismo signo y por el mismo axioma de existencia del inverso, se puede deducir lo siguiente,
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
&+& \text{ entre } + \text{ da } + \qquad + \text{ entre } - \text{ da } -\\
&-& \text{ entre } - \text{ da } + \qquad - \text{ entre } + \text{ da } -
\end{IEEEeqnarray*}
\end{reg}
El signo del producto de varios factores es $+$ cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. Así, $(-a)(-b)(-c)(-d)=abcd$\\
El signo del producto de varios factores es $-$ cuando tiene un número impar de factores negativos. Así, $(-a)(-b)(-c))-abc$.\\
\textbf{LEYES DE EXPONENTES}
\begin{defn}[Potencia de un número]
Llamamos potencia de un número real al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si $a$ es un número real cualquier y $n>1$ es un número natural, tendremos la notación $a^n$, que se lee $a$ elevado a la enésima potencia, e indica que $a$ debe tomarse como factor $n$ veces.
\begin{equation*}
a^n=a\cdot a\cdot a\cdot a \cdots a \qquad (n \text{ veces})
\end{equation*}
En la notación $a^n$, llamamos base al número $a$, y exponente a $n$, que nos indica las veces que debemos tomar como factor $a$.\\
Conviene distinguir dos casos:
\begin{enumerate}
\item Si un número $a\neq 0$, se eleva a la potencia 0 es igual a 1. Así
\begin{equation*}
a^0=1; \quad 3^0=1
\end{equation*}
\item Si un número $a\neq 0$, se eleva a un exponente negativo cualquiera $-m$, es igual al recíproco de la potencia $a^m$ (de exponente positivo). Así
\begin{equation*}
a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}; \quad 3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{reg}[Producto de dos potencias de igual base] %Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 38
Para multiplicar dos potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. Por ejemplo:
\begin{equation*}
a^m\cdot a^n = a^{m+n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64
\end{equation*}
\end{reg}
\begin{reg}[División de dos potencias de igual base] %Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 38
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que dé la diferencia de ambos exponentes. Así:
\begin{equation*}
\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9
\end{equation*}
\end{reg}
\begin{reg}[Potencia de una potencia]%Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 38
Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes y se mantiene la base. Por ejemplo:
\begin{equation*}
\left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left(2^2\right)^3 = 2^{2\cdot 3}=2^6=64
\end{equation*}
Hay que tener cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un número a una potencia cuyo exponente, a la vez esté afectado por otro exponente. Así, no es lo mismo $\left(4^2\right)^3$ que $4^{2^3}$. Ejemplo:
\begin{equation*}
\left(4^2\right)^3 = 4^{2\cdot 3}=4^6=4096 \quad \text{y por otra parte} \quad 4^{2^3}=4^{2\cdot 2\cdot 2}=4^8=65536
\end{equation*}
\end{reg}
\vspace{1mm}
\textbf{LEY DE LOS COEFICIENTES}
\begin{reg} %Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 65
El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Así $(3a)(4b)=12ab$. En efecto, como el orden de los factores no altera el producto, tenemos:
\begin{equation*}
(3a)(4b)=3\cdot4\cdot a \cdot b=12ab
\end{equation*}
\end{reg}
\vspace{1mm}
\textbf{MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS}
\begin{reg} %Baldor, 1983, ejercicio 10, p. 65
Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos.
\end{reg}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item $(2a^2)(3a^3)=2\cdot 3 \cdot a^{2+3}=6a^5$.
\item $(-xy^2)(-5mx^4y^3)=5mx^{1+4}y^{2+3}=5mx^5y^5$.
\item $(-ab^2)(4a^mb^nc^3)=(-1)(4)a^{1+m}b^{2+n}c^3=-4a^{m+1}b^{n+2}c^3$.
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, pp. 65-66
Multiplicar: % ejercicio 35
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item 2 por -3.
\item -4 por -8.
\item -15 por 16.
\item $ab$ por $-ab$.
\item $2x^2$ por $-3x$.
\item $-4a^2b$ por $-ab^2$.
\item $-5x^3y$ por $xy^2$.
\item $a^2b^3$ por $3a^2x$.
\item $-4m^2$ por $-5mn^2p$.
\item $5a^2y$ por $-6x^2$.
\item $-x^2y^3$ por $-4y^3z^4$.
\item $abc$ por $cd$.
\item $-15x^4y^3$ por $-16a^2x^3$.
\item $3a^2b^3$ por $-4x^2y$.
\item $3a^2bx$ por $7b^3x^5$.
\item $-8m^2n^3$ por $-9a^2mx^4$.
\item $a^mb^n$ por $-ab$.
\item $-5a^mb^n$ por $-6a^2b^3x$.
\item $x^my^nc$ por $-x^my^nc^x$.
\item $-m^xn^a$ por $-6m^2n$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item $(a^{x+1}b^{x+2})(-3a^{x+2}b^{3})=-3a^{x+1+x+2}b^{x+2+3}=-3a^{2x+3}b^{x+5}$.
\item $(-a^{m+1}b^{n-2})(-4a^{m-2}b^{2n+4})=4a^{2m-1}b^{3n+2}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, pp. 65-66
Multiplicar: % ejercicio 36
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $a^m$ por $a^{m+1}$.
\item $-x^a$ por $-x^{a+2}$.
\item $4a^nb^x$ por $-ab^{x+1}$.
\item $-a^{n+1}b^{n+2}$ por $a^{n+2}b^n$.
\item $-3a^{n+4}b^{n+1}$ por $-4a^{n+2}b^{n+3}$.
\item $3x^2y^3$ por $4x^{m+1}y^{m+2}$.
\item $4x^{a+2}b^{a+4}$ por $-5x^{a+5}b^{a+1}$.
\item $a^mb^nc$ por $-a^mb^{2n}$.
\item $-x^{m+1}y^{a+2}$ por $-4x^{m-3}y^{a-5}c^2$.
\item $-5m^an^{b-1}c$ por $-7m^{2a-3}n^{b-4}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item $\left(\frac{2}{3}a^2b\right)\left(-\frac{3}{4}a^3m\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}\right)a^5bm=-\frac{1}{2}a^5bm$
\item $\left(-\frac{5}{6}x^2y^3\right)\left(-\frac{3}{10}x^my^{n+1}\right)=\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{3}{10}\right)x^{m+2}y^{n+1+3}=\frac{1}{4}x^{m+2}y^{n+4}$
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, pp. 65-66
Multiplicar: % ejercicio 37
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\frac{1}{2}a^2$ por $\frac{4}{5}a^3b$.
\item $-\frac{3}{7}m^2n$ por $-\frac{7}{14}a^2m^3$.
\item $\frac{2}{3}x^2y^3$ por $-\frac{3}{5}a^2x^4y$.
\item $-\frac{1}{8}m^3n^4$ por $-\frac{4}{5}a^3m^2n$.
\item $-\frac{7}{8}abc$ por $\frac{2}{7}a^3$.
\item $-\frac{3}{5}x^3y^4$ por $-\frac{5}{6}a^2by^5$.
\item $\frac{1}{3}a$ por $\frac{3}{5}a^m$.
\item $-\frac{3}{4}a^m$ por $-\frac{2}{5}ab^3$.
\item $\frac{5}{6}a^mb^n$ por $-\frac{3}{10}ab^2c$.
\item $-\frac{2}{9}a^xb^{m+1}$ por $-\frac{3}{5}a^{x-1}b^m$.
\item $\frac{3}{8}a^mb^n$ por $-\frac{4}{5}a^{2m}b^n$.
\item $-\frac{2}{11}a^{x+1}b^{x-3}c^2$ por $-\frac{44}{7}a^{x-3}b^2$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Multiplicación de más de dos monomios}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item $(2a)(-3a^2b)(-ab^3)=6a^4b^4$. El signo del producto es positivo porque hay un número par de factores negativos.
\item $\left(-x^2y\right)\left(-\frac{2}{3}x^m\right)\left(-\frac{3}{4}a^2y^n\right))-\frac{1}{2}a^2x^{m+2}y^{n+1}$. El signo del producto es negativo porque tiene un número impar de factores negativos.
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 67
Multiplicar: % ejercicio 38
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $(a)(-3a)(a^2)$.
\item $(3x^2)(-x^3y)(-a^2x)$.
\item $(-m^2n)(-3m^2)(-5mn^3)$.
\item $(4a^2)(-5a^3x^2)(-ay^2)$.
\item $(-a^m)(-2ab)(-3a^2b^x)$.
\item $\left(\frac{1}{2}x^3\right)\left(-\frac{2}{3}a^2x\right)\left(-\frac{3}{5}a^4m\right)$
\item $\left(\frac{2}{3}a^m\right)\left(\frac{3}{4}a^2b^4\right)\left(-3a^4b^{x+1}\right)$.
\item $\left(-\frac{3}{5}m^3\right)\left(-5a^2m\right)\left(-\frac{1}{10}a^xm^a\right)$
\item $(2a)(-a^2)(-3a^3)(4a)$.
\item $(-3b^2)(-4a^3b)(ab)(-5a^2x)$.
\item $(a^mb^x)(-a^2)(-2ab)(-3a^2x)$.
\item $\left(-\frac{1}{2}x^2y\right)\left(-\frac{3}{5}xy^2\right)\left(-\frac{3}{4}x^2y\right)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{3mm}
\textbf{MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS}
Multiplicar $(a+b)$ por $c$ equivale a tomar la suma $(a+b)$ como sumando $c$ veces, así:
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
(a+b)c&=&(a+b)+(a+b)+(a+b)+ \dots +(a+b), \quad c \text{ veces}\\
&=& (a+a+\dots+a)+(b+b+\dots +b), \quad c \text{ veces en cada caso}\\
&=&ac+bc.
\end{IEEEeqnarray*}
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
(a-b)c&=&(a-b)+(a-b)+(a-b)+ \dots +(a-b), \quad c \text{ veces}\\
&=& (a+a+\dots+a)-(b+b+\dots +b), \quad c \text{ veces en cada caso}\\
&=&ac-bc.
\end{IEEEeqnarray*}
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
\begin{reg}[Multiplicación de un polinomio por un monomio] %Baldor, 1983, p. 67
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la Ley de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Esta es la \emph{Ley distributiva} de la multiplicación.
\end{reg}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item $(3x^2-6x+7)(4ax^2)=3x^2(4ax^2)-6x(4ax^2)+7(4ax^2)=12ax^4-24ax^3+28ax^2$.
\item $(x^{a+1}y-3x^ay^2+2x^{a-1}y^3-x^{a-2}y^4)(-3x^2y^m)=-3x^{a+3}y^{m+1}+9x^{a+2}y^{m+2}-6x^{a+1}y^{m+3}+3x^ay^{m+4}$
\item $(\frac{2}{3}x^4y^2-\frac{3}{5}x^2y^4+\frac{5}{6}y^6)(-\frac{2}{9}a^2x^3y^2)=-\frac{4}{27}a^2x^7y^4+\frac{2}{15}a^2x^5y^6-\frac{5}{27}a^2x^3y^8 $.
\end{enumerate}
\pagebreak
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 68
Multiplicar: % ejercicio 39
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $3x^3-x^2$ por $-2x$.
\item $8x^2y-3y^2$ por $2ax^3$.
\item $x^2-4x+3$ por $-2x$.
\item $a^3-4a^2+6a$ por $3ab$.
\item $a^2-2ab+b^2$ por $-ab$.
\item $x^5-6x^3-8x$ por $3a^2x^2$.
\item $m^4-3m^2n^2+8n^4$ por $-4m^3x$.
\item $x^3-4x^2y+6xy^2$ por $ax^3y$.
\item $a^3-5a^2b-8ab^2$ por $-4a^4m^2$.
\item $a^m-a^{m-1}+a^{m-2}$ por $-2a$.
\item $x^{m+1}+3x^m-x^{m-1}$ por $3x^{2m}$.
\item $a^mb^n+a^{m-1}b^{n+1}-a^{m-2}b^{n+2}$ por $3a^2b$.
\item $x^3-3x^2+5x-6$ por $-4x^2$.
\item $a^4-6a^3x+9a^2x^2-8$ por $3bx^3$.
\item $a^{n+3}-3a^{n+2}-4a^{n+1}-a^n$ por $-a^nx^2$.
\item $x^4-6x^3+8x^2-7x+5$ por $-3a^2x^3$.
\item $-3x^3+5x^2y-7xy^2-4y^3 $ por $5a^2xy^2$.
\item $x^{a+5}-3x^{a+4}+x^{a+3}-5x^{a+1}$ por $-2x^2$. % hasta el No. 18
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 68
Multiplicar: % ejercicio 40
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b$ por $\frac{2}{5}a^2$.
\item $\frac{2}{3}a-\frac{3}{4}b$ por $-\frac{2}{3}a^3b$.
\item $\frac{3}{5}a-\frac{1}{6}b+\frac{2}{5}c$ por $-\frac{5}{3}ac^2$.
\item $\frac{2}{5}a^2+\frac{1}{3}ab-\frac{2}{9}b^2$ por $3a^x$.
\item $\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{5}xy-\frac{1}{4}y^2$ por $\frac{3}{2}y^3$.
\item $3a-5b+6c$ por $-\frac{3}{10}a^2x^3$.
\item $\frac{2}{9}x^4-x^2y^2+\frac{1}{3}y^4$ por $\frac{3}{7}x^3y^4$.
\item $\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{3}b^2+\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{5}y^2$ por $-\frac{5}{8}a^2m$.
\item $\frac{2}{3}m^3+\frac{1}{2}m^2n-\frac{5}{6}mn^2-\frac{1}{9}n^3$ por $\frac{3}{4}m^2n^3$.
\item $\frac{2}{5}x^6-\frac{1}{3}x^4y^2+\frac{3}{5}x^2y^4-\frac{1}{10}y^6$ por $-\frac{5}{7}a^3x^4y^3$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{3mm}
\textbf{MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS} %Baldor, 1983, p. 69
Sea el producto $(a+b-c)(m+n)$. Haciendo $m+n=y$, tendremos:
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
(a+b-c)(m+n)&=&(a+b-c)y=ay+by-cy, \quad (\text{sustituyendo } y \text{ por su valor } m+n)\\
&=& a(m+n)+b(m+n)-c(m+n)\\
&=&am+an+bm+bn-cm-cn\\
&=&am+bm-cm+an+bn-cn.
\end{IEEEeqnarray*}
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
\begin{reg}[Multiplicación de dos polinomios]
Se multiplican todos los términos del primer factor por cada uno de los términos del segundo factor, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
\end{reg}
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item $(a-4)(3+a)=a^2-4a+3a-12=a^2-a-12$.
\item $(4x-3y)(-2y+5x)=20x^2-15xy-8xy+6y^2=20x^2-23xy+6y^2$.
\end{enumerate}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 69
Multiplicar: % ejercicio 41
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $a+3$ por $a-1$.
\item $a-3$ por $a+1$.
\item $x+5$ por $x-4$.
\item $m-6$ por $m-5$.
\item $-x+3$ por $-x+5$
\item $-a-2$ por $-a-3$.
\item $3x-2y$ por $y+2x$.
\item $-4y+5x$ por $-3x+2y$.
\item $5a-7b$ por $a+3b$.
\item $8n-9m$ por $4n+6m$. % No. 13
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Ejemplos}: %Baldor, 1983, p. 70
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item $(2+a^2-2a-a^3)(a+1)=-a^4-a^2+2$.
\item $(6y^2+2x^2-5xy)(3x^2-4y^2+2xy)=6x^4-11x^3y+32xy^3-24y^4$.
\item $(x-4x^2+x^3-3)(x^3-1+4x^2)=x^6-15x^4-8x^2-x+3$.
\item $(2x-y+3z)(x-3y-4z)=2x^2-7xy-5xz+3y^2-5yz-12z^2$.
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 70
Multiplicar: % ejercicio 42
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x^2+xy+y^2$ por $x-y$.
\item $a^2+b^2-2ab$ por $a-b$.
\item $a^2+b^2+2ab$ por $a+b$.
\item $x^3-3x^2+1$ por $x+3$.
\item $a^2-a+a^2$ por $a-1$.
\item $m^4+m^2n^2+n^4$ por $m^2-n^2$.
\item $x^3-2x^2+3x-1$ por $2x+3$.
\item $3y^3+5-6y$ por $y^2+2$.
\item $m^3-m^2+m-2$ por $am+a$.
\item $3a^2-5ab+2b^2$ por $4a-5b$.
\item $5m^4-3m^2n^2+n^4$ por $3m-n$.
\item $a^2+a+1$ por $a^2-a-1$.
\item $x^3+2x^2-x$ por $x^2-2x+5$.
\item $m^3-3m^2n+2mn^2$ por $m^2-2mn$. % ejercicio modificado
\item $x^2+1+x$ por $x^2-x-1$.
\item $2-3x^2+x^4$ por $x^2-2x+3$.
\item $m^3-4m+m^2-1$ por $m^3+1$.
\item $a^3-5a+2$ por $a^2-a+5$.
\item $x^2-2xy+y^2$ por $xy-x^2+3y^2$.
\item $n^2-2n+1$ por $n^2-1$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Multiplicación de polinomios con exponentes literales}
\textbf{Ejemplos}: %Baldor, 1983, p. 71
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item $(a^{m+2}-4a^m-2a^{m+1})(a^2-2a)=a^{m+4}-4a^{m+3}+8a^{m+1}$.
\item $(x^{a+2}-3x^a-x^{a+1}+x^{a-1})(x^{a+1}+x^a+4x^{a-1})=x^{2a+3}-6x^{2a}-11x^{2a-1}+4x^{2a-2}$.
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 71
Multiplicar: % ejercicio 43
\begin{enumerate}
\item $a^x-a^{x+1}+a^{x+2}$ por $a+1$.
\item $x^{n+1}+2x^{n+2}-x^{n+3}$ por $x^2+x$.
\item $m^{a-1}+m^{a+1}+m^{a+2}-m^a$ por $m^2-2m+3$.
\item $a^{n+2}-2a^n+2a^{n+1}$ por $a^n+a^{n+1}$.
\item $x^{a+2}-x^a+2x^{a+1}$ por $x^{a+3}-2x^{a+1}$.
\item $3a^{x-2}-2a^{x-1}+a^x$ por $a^2+2a-1$.
\item $3a^{x-1}+a^x-2a^{x-2}$ por $a^x-a^{x-1}+a^{x-2}$.
\item $m^{a+1}-2m^{a+2}-m^{a+3}+m^{a+4}$ por $m^{a-3}-m^{a-1}+m^{a-2}$.
\item $x^{a-1}+2x^{a-2}-x^{a-3}+x^{a-4}$ por $-x^{a-3}+x^{a-1}-x^{a-2}$.
\item $a^nb-a^{n-1}b^2+2a^{n-2}b^3-a^{n-3}b^4$ por $ a^nb^2-a^{n-2}b^4$.
\item $a^x+b^x$ por $a^m+b^m$.
\item $a^{x-1}-b^{n-1}$ por $a-b$.
\item $a^{2m+1}-5a^{2m+2}+3a^{2m}$ por $a^{3m-3}+6a^{3m-1}-8a^{3m-2}$.
\item $x^{a+2}y^{x-1}+3x^ay^{x+1}-4x^{a+1}y^x$ por $-2x^{2a-1}y^{x-2}-10x^{2a-3}y^x-4x^{2a-2}y^{x-1}$.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\pagebreak
\textbf{Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios}
\textbf{Ejemplos}: %Baldor, 1983, p. 72
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item $\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}xy\right)\left(\frac{2}{3}x-\frac{4}{5}y\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{28}{45}x^2y+\frac{4}{15}xy^2$.
\item $\left(\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{5}ab\right)\left(\frac{3}{4}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{4}b^2\right)=\frac{1}{4}a^4-\frac{19}{60}a^3b+\frac{47}{120}a^2b^2-\frac{1}{5}ab^3-\frac{1}{8}b^4$.
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 72
Multiplicar: % ejercicio 44
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b$.
\item $x-\frac{2}{5}y$ por $\frac{5}{6}y+\frac{1}{3}x$.
\item $\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{4}y^2$ por $\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}y$.
\item $\frac{1}{4}a^2-ab+\frac{2}{3}b^2$ por $\frac{1}{4}a-\frac{3}{2}b$.
\item $\frac{2}{5}m^2+\frac{1}{3}mn-1\frac{1}{2}n^2$ por $\frac{3}{2}m^2+2n^2-mn$.
\item $\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{2}{5}$ por $2x^3-\frac{1}{3}x+2$.
\item $\frac{1}{3}ax-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}a^2$ por $\frac{3}{2}x^2-ax+\frac{2}{3}a^2$.
\item $\frac{2}{7}x^3+\frac{1}{2}xy^2-\frac{1}{5}x^2y$ por $\frac{1}{4}x^2-\frac{2}{3}xy+\frac{5}{6}y^2$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Producto continuado de polinomios} %Baldor, 1983, p. 75
\textbf{Ejemplo}: \\
Desarrollar y simplificar $3x(x+3)(x-2)(x+1)$\\
Observación: al poner los factores entre paréntesis la multiplicación está indicada.\\
La operación se desarrolla efectuando el producto de dos factores cualesquiera; este producto se multiplica por el tercer factor y este nuevo producto por el factor que queda.\\
Así, en este caso efectuamos el producto $3x(x+3)=3x^2+9x$. Este producto lo multiplicamos por $x-2$ y tendremos, $(3x^2+9x)(x-2)=3x^3+3x^2-18x$, este producto se multiplica por $x+1$, y se obtiene, $(3x^3+3x^2-18x)(x+1)=3x^4+6x^3-15x^2-18x$. Por lo tanto,
\begin{equation*}
3x(x+3)(x-2)(x+1)=3x^4+6x^3-15x^2-18x
\end{equation*}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 72
Desarrollar y simplificar: % ejercicio 44
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $4(a+5)(a-3)$.
\item $3a^2(x+1)(x-1)$
\item $2(a-3)(a-1)(a+4)$.
\item $(x^2+1)(x^2-1)(x^2+1)$.
\item $m(m-4)(m-6)(3m+2)$.
\item $(a-b)(a^2-2ab+b^2)(a+b)$.
\item $(a^m-3)(a^{m-1}+2)(a^{m-1}-1)$. % No. 9
\item $a^x(a^{x+1}+b^{x+2})(a^{x+1}-b^{x+2})b^x$. % No. 14
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ejer}
\pagebreak
\textbf{Multiplicación combinada con suma y resta} %Baldor, 1983, p. 75
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item Desarrollar y simplificar $(x+3)(x-4)+3(x-1)(x+2)$\\
Efectuaremos el primer producto $(x+3)(x-4)$, después el segundo producto $3(x-1)(x+2)$ y sumaremos este segundo producto con el primero.\\
Del primer producto, se obtiene: $(x+3)(x-4)=x^2-x-12$\\
Del segundo: $3(x-1)(x+2)=3(x^2+x-2)=3x^2+3x-6$.\\
Sumando este segundo producto con el primero:
\begin{equation*}
(x^2-x-12)+(3x^2+3x-6)=4x^2+2x-18
\end{equation*}
\item Desarrollar y simplificar $x(a-b)^2-4x(a+b)$\\
Elevar una cantidad al cuadrado equivale a multiplicarla por sí misma; así $(a-b)^2$ equivale a $(a-b)(a-b)$.\\
Desarrollando $x(a-b)^2$, se obtiene:
\begin{equation*}
x(a-b)^2=x(a^2-2ab+b^2)=a^2x-2abx+b^2x
\end{equation*}
Desarrollando $4x(a+b)^2$, se obtiene:
\begin{equation*}
4x(a+b)^2=4x(a^2+2ab+b^2)=4a^2x+8abx+4b^2x
\end{equation*}
Restando este segundo producto del primero primero:
\begin{equation*}
(a^2x-2abx+b^2x)-(4a^2x+8abx+4b^2x)=-3a^x-10abx-3b^2x
\end{equation*}
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 76
Desarrollar y simplificar: % ejercicio 47
\begin{enumerate}
\item $4(x+3)+5(x+2)$.
\item $6(x^2+4)-3(x^2+1)+5(x^2+2)$.
\item $a(a-x)+3a(x+2a)-a(x-3a)$.
\item $x^2(y^2+1)+y^2(x^2+1)-3x^2y^2$.
\item $4m^3-5mn^2+3m^2(m^2+n^2)-3m(m^2-n^2)$.
\item $y^2+x^2y^3-y^3(x^2+1)+y^2(x^2+1)-y^2(x^2-1)$.
\item $5(x+2)-(x+1)(x+4)-6x$.
\item $(a+5)(a-5)-3(a+2)(a-2)+5(a+4)$.
\item $(a+b)(4a-3b)-(5a-2b)(3a+b)-(a+b)(3a-6b)$.
\item $(a+c)^2-(a-c)^2$.
\item $3(x+y)^2-4(x-y)^2+3x^2-3y^2$.
\item $(m+n)^2-(2m+n)^2+(m-4n)^2$.
\item $x(a+x)+3x(a+1)-(x+1)(a+2x)-(a-x)^2$.
\item $(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-(a+b+c)^2$.
\item $(x^2+x-3)^2-(x^2-2+x)^2+(x^2-x-3)^3$
\item $(x+y+z)^2-(x+y)(x-y)+3(x^2+xy+y^2)$.
\item $[x+(2x-3)][3x-(x+1)]+4x-x^2$.
\item $[3(x+1)-4(x+1)][3(x+4)-2(x+2)]$.
\item $[(m+n)(m-n)-(m+n)(m+n)][2(m+n)-3(m-n)]$.
\item $[(x+y)^2-3(x-y)^2][(x+y)(x-y)+x(y-x)]$.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\vspace{1mm}
\textbf{Supresión de signos de agrupación con productos indicados} %Baldor, 1983, p. 76
\textbf{Ejemplos}:
\begin{enumerate}
\item Desarrollar y simplificar $5a+\left(a-2\left(a+3b-4\left(a+b\right)\right)\right)$.\\
Un coeficiente colocado junto a un signo de agrupación nos indica que hay que multiplicarlo por cada uno de los términos encerrados en el signo de agrupación. Así, en este caso multiplicamos -4 por $a+b$, para obtener
\begin{equation*}
5a+\left(a-2\left(a+3b-4a-4b\right)\right).
\end{equation*}
En el curso de la operación podemos (y es aconsejable) reducir términos semejantes. Así, reduciendo los términos semejantes dentro del paréntesis interior, tenemos:
\begin{equation*}
5a+\left(a-2\left(-3a-b\right)\right).
\end{equation*}
Efectuando la multiplicación de -2 por $(-3a-b)$, se obtiene,
\begin{equation*}
5a+\left(a+6a+2b\right)=5a+(7a+2b)=5a+7a+2b=12a+2b.
\end{equation*}
\item Desarrollar y simplificar $-3(x+y)-4(-x+2(-x+2y-3(x-(y+2)))-2x)$.
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
&&-3(x+y)-4(-x+2(-x+2y-3(x-y-2))-2x)\\
&=&-3x-3y-4(-x+2(-x+2y-3x+3y+6)-2x)\\
&=&-3x-3y-4(-x+2(-4x+5y+6)-2x)\\
&=&-3x-3y-4(-x-8x+10y+12-2x)\\
&=&-3x-3y-4(-11x+10y+12)\\
&=&-3x-3y+44x-40y+48\\
&=&41x-43y-48.
\end{IEEEeqnarray*}
\end{enumerate}
\vspace{1mm}
\begin{ejer}\
%Baldor, 1983, p. 72
Desarrollar y simplificar: % ejercicio 44
\begin{enumerate}
\item $x-(3a+2(-x+1))$.
\item $-(a+b)-3(2a+b(-a+2))$.
\item $-(3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1))$.
\item $4x^2-(-3x+5-(-x+x(2-x)))$.
\item $2a-(-3x+2(-a+3x-2(-a+b-(2+a))))$.
\item $a-(x+y)-3(x-y)+2(-(x-2y)-2(-x-y))$.
\item $m-(m+n)-3(-2m+(-2m+n+2(-1+n)-(m+n-1)))$.
\item $-2(a-b)-3(a+2b)-4(a-2b+2(-a+b-1+2(a-b)))$.
\item $-5(x+y)-(2x-y+2(-x+y-3-(x-y-1)))+2x$.
\item $m-3(m+n)+(-(-(-2m+n-2-3(m-n+1))+m))$.
\item $-3(x-2y)+2(-4(-2x-3(x+y)))-(-(-(x+y)))$.
\item $5(-(a+b)-3(-2a+3b-(a+b)+(-a-b)+2(-a+b))-a)$.
\item $-3(-(+(-a+b)))-4(-(-(-a-b)))$.
\item $-(a+b-2(a-b)+3(-(2a+b-3(a+b-1)))-3(-a+2(-1+a)))$.
\end{enumerate}
\end{ejer}
\end{document}