TEORÍA DE NÚMEROS

\documentclass[12pt,spanish]{article}

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\title{\textbf{TEOR\'IA DE N\'UMEROS}}
\author{Sebastian Alzate Vargas}
\date{19 de mayo}
\begin{document}
\maketitle


\textbf{1. EJERCICIO:} Obtenga la siguiente congruencia
\begin{align*}
a^7 \equiv a\ \mod(42)     \ \ para \ todo \ a
\end{align*}


\textbf{prueba:}\\
\\
$\blacktriangleright$ por colorario sabemos que \begin{align*}
 a^7 \equiv a \ \mod(7) \tag{i} 
\end{align*}
\\
$\blacktriangleright$Ahora por teorema tenemos
\begin{align*}
 a^1 &\equiv 1 \ \mod(2)\\
a^6 &\equiv 1 \ \mod(2)\\
a^6*a &\equiv 1*a \ \mod(2)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(2) \tag{ii}
 \end{align*}
\\
$\blacktriangleright$nuevamente por el teorema de Fermat \\
\begin{align*}
a^2 &\equiv 1 \ \mod(3)\\
a^6 &\equiv 1 \ \mod(3)\\
a^6*a &\equiv 1*a \ \mod(3)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(3) \tag{iii}
\end{align*}\\
Luego  de (i),(ii) y (iii) se concluye que:\\
\begin{align*}
\therefore a^7 &\equiv a \ \mod(7*2*3)\\
a^7 &\equiv a \ \mod(42)
\end{align*}
\rightline{$\blacksquare$}
\\
\\
\\
\\
\\
\textbf{2. EJERCICIO:} Usando congruencias, resolver la siguiente ecuacion diof\'antica
$$ 4x +51y = 9$$\\
\textbf{Prueba:}\\
tenemos que $\gcd(4,51)=1$\\
asi 
\begin{align*}
4x &\equiv 9 \ \mod(51)\\
x &\equiv 15 \ \mod(51)
\end{align*}
ahora con x=15 tenemos que 
$$4*(15)+51y = 9$$
$$y=-1$$\\
sabemos que 
$$x=x_0+\frac{b}{d}t$$
$$y=y_0-\frac{a}{d}t$$
por tanto
$$x=15+ 51t$$
$$y=-1-4t$$
\rightline{$\blacksquare$}
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\textbf{3. EJERCICIO:}
Obtenga tres enteros consecutivos, cada uno tiene factor cuadrado\\
\\
\textbf{Prueba:} Sea $2^2\mid a$,\ $3^2\mid a+1$,\ $5^2\mid a+2$\\
\\
\begin{align*}
\blacktriangleright a &\equiv 0 \ \mod(4)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright a+1 &\equiv 0 \ \mod(9) \\
a &\equiv -1 \ \mod(9) \\
-1 &\equiv 8 \ \mod(9) \\
a &\equiv 8 \ \mod(9)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright a+2 &\equiv 0 \ \mod(25) \\
a &\equiv -2 \ \mod(25) \\
-2 &\equiv 23 \ \mod(25 \\
a &\equiv 23 \ \mod(25)
\end{align*}
Ahora, utilizando el teorema Chino de los residuos, tenemos: 
\begin{align*}
N = 4*9*25 = 900
\end{align*}
\begin{align*}
N_1&= 225 \\
N_2&= 100 \\
N_3&= 36
\end{align*}
\begin{align*}
b_1&= 0\\
b_2&= 8 \\
b_3&= 23 
\end{align*}
Entonces,\\ \\
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 225a_1 &\equiv 1 \ \mod(4) \\
a_1 &\equiv 1 \ \mod(4)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 100a_2 &\equiv 1 \ \mod(9) \\
a_2 &\equiv 1 \ \mod(9)
\end{align*}
\
\begin{align*}
\blacktriangleright 36a_3 &\equiv 1 \ \mod(25) \\
11a_3 &\equiv 1 \ \mod(25) \\
a_3 &\equiv 16 \ \mod(25)
\end{align*}
Ahora la solucion, esta dada por
\begin{align*}
A &= N_1b_1a_1 + N_2b_2a_2 + N_3b_3a_3 \ \mod(N)\\
&= 225*0*1 + 100*8*1 + 36*23*16 \ \mod(900)\\
&= 800 + 13248 \ mod(900) \\
&= 14048 \ \mod(900)
\end{align*}
De lo cual,
\begin{align*}
14048 &\equiv 548 \ \mod(900)
\end{align*}
Por tanto $a = 548$, y asi\\
\begin{align}
a &= 548 \\
a + 1 &= 549 \\
a + 2 &= 550 
\end{align}
\\
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\\
\\
\textbf{4. EJERCICIO:} Muestre que si p=4k+3 \ es un primo y \  $a^2+b^2 \equiv 0 \ \mod(p)$,\ entonces 
\begin{align*}
a \equiv b \equiv 0 \ \mod(p)
\end{align*} \\

\textbf{Prueba:} razonando por el absurdo supongamos que 
$$a \not\equiv b \not\equiv 0 \ \mod (p)$$
Tenemos que \ $a \not\equiv 0 \ \mod(p)$ \ ahora por el teorema de Fermat obtenemos:
\begin{align}
a^{4k+2} \equiv 1 \ \mod (p) \tag{i}
\end{align}

Y por hipotesis tenemos que: $$a^2 \equiv -b^2 \ \mod(p)$$
elevando a ambos lados a 2k+1 $$(a^2)^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1}(b^2)^{2k+1} \ \mod(p) $$
de (i) 

\begin{align*}
1 &\equiv -(b^2)^{2k+1} \ \mod(p) \\
1 &\equiv -b^{4k+2} \ \mod(p) \\
-1 &\equiv b^{4k+2} \ \mod(p) \tag{ii}
\end{align*}
como $ b \not \equiv 0 \ mod(p)$ por teorema de Fermat 
\begin{align*}
b^{4k+2} \equiv 1 \ \mod(p) \tag{iii}
\end{align*}
Luego de (ii) y (iii) 
$$-1 \equiv 1 \ \mod(p)$$
$$-2 \equiv 0 \ \mod(p)$$
$\longrightarrow \longleftarrow$ porque $p \nmid -2$ donde p=4k+3 \\
\begin{align*}
\therefore  \ a \equiv b \equiv 0 \ \mod(p)
\end{align*} \\
\rightline{$\blacksquare$}
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\\
\textbf{5. EJERCICIO:} muestre que $\sum_{d|n} \frac{1}{d} = \frac{\sigma(n)}{n}$ parta cada entero positivo.\\ \\
\textbf{Prueba:}
Por definicion tenemos que $\sigma(n) = \sum_{d|n} d$ \ que es la suma de todos los divisores de n; ahora podemos reescribir la formula como $\sum_{d|n}\frac{n}{d}$ \ que son los d que dividen a n, los cuales son divisores de n que a su vez diveden n. \\ \\
asi tenemos: $$\sigma(n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}$$
dividiendo por n $$\frac{\sigma(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{1}{d}$$
\rightline{$\blacksquare$}


























\end{document}